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宋朝数学家李冶

发布时间:2019年03月26日    点击数:   【收藏】  【打印文章

 李冶(11921279),金元之际数学家.字仁卿,号敬斋,真定府栾城县(今河北栾城)人.

  李冶生于大兴(今属北京),父亲李遹为大兴府推官.李冶自幼天资明敏,喜爱读书,曾在元氏县(今河北元氏)求学,对文学、数学、经学都感兴趣.正大七年(1230)在洛阳考中词赋科进士,出任钧州(今河南禹县)知事,为官清廉、正直.开兴元年(1232),因钧州城被蒙古军队攻破,李冶北渡黄河避难,定居于崞山(今山西崞县)之桐川.

  李冶在桐川的生活十分艰苦,不仅居室狭小,且常不得温饱,要为衣食而奔波.但他却在这里进行着顽强的学术研究.正像他的学生焦养直所说“虽饥寒不能自存,亦不恤也”,在“流离顿挫”中“亦未尝一日废其业”.李冶的研究工作是多方面的,包括数学、文学、历史、天文、哲学、医学.他不仅博览群书,而且善于去粗取精,批判地接受前人知识.他说:“学有三,积之之多不若取之之精,取之之精不若得之之深.”李冶在实践中逐渐认识到:“数术虽居六艺之末,而施之人事,则最为切务.”于是潜心数学.他指出:“谓数为难穷,斯可;谓数为不可穷,斯不可.何则?彼其冥冥之中,固有昭昭者存.”他认为数来源于自然,所谓“昭昭者”,乃是数中的“自然之理”,“苟能推自然之理,以明自然之数,则虽远而乾端坤倪,幽而神情鬼状,未有不合者矣.”他在桐川得到洞渊算书,内有九容之说,专讲勾股容圆(即切圆)问题.于是,他便以洞渊九容为基础,讨论了在各种条件下用天元术求圆径的问题,于1248年写成《测圆海镜》十二卷,这是他一生中的最大成就.

  1251年,李冶结束避难生活,回元氏县封龙山定居,并收徒讲学.1257年,他在开平(今内蒙古正蓝旗)接受忽必烈召见,提出一些开明的政治建议.1259年,李冶写成另一部数学著作《益古演段》.至元二年(1265),李冶应忽必烈之聘,赴京(即中都,今北京)担任翰林学士知制诰同修国史官职,因感到在翰林院思想不自由,第二年辞职还乡.晚年又著《敬斋古今黈(tǒu)》、《泛说》等书.至元十六年(1279)病逝于元氏.

 

二、《测圆海镜》

 

  《测圆海镜》是现存最早的一部以天元术为主要内容的著作.天元术虽在北宋已经产生,但直到李冶之前还不成熟,记号混乱、复杂,演算烦琐,甚至不懂得用统一符号表示未知数的不同次幂.李冶致力于改进天元术,使之简便而实用.《测圆海镜》就是他长期研究天元术的成果.

  《测圆海镜》卷一的圆城图式是全书出发点.该图以一个直角三角形及其内切圆为基础,通过若干互相平行或垂直的直线,构成16个直角三角形(86).书中题目都是已知某些三角形边长,求圆径.卷一的“识别杂记”阐明了各勾股形边长及其与圆径的关系,共600余条,每条可看作一个定理或公式,这部分内容是对中国古代勾股容圆问题的总结.卷二到十二为习题,共170题.全书基本上是一个演绎体系,卷一包含了解题所需的基本理论,后面各卷问题的解法均可在此基础上以天元术为工具推导出来.

 

  李冶的天元术分为三步:首先“立天元一”,这相当于设未知数x;然后寻找两个等值的且至少有一个含天元的多项式(或分式);最后把两个多项式(或分式)连为方程,通过相消,化成标准形式

  anxn+an-1xn-1++a1x+a00

  李冶称方程式为天元式,在《测圆海镜》中采用由高次幂到低次幂上下排列的顺序,式中只标“元”或“太”一个字,元代表一次项,太代表常数项,负系数加一斜线,零系数标数码○.例如

  -x2320x13280013056000x-10

  -414x24785840

  分别写为图87和图88的形式.下面以卷四第六问为例,用现代符号表出李冶的解题过程.

 

  已知:a3200c11170

  求:D

  解:由识别杂记,得b15a3c11=30

  设半径为x,则

  b11=xb15x30

  a11a3-x200-x

  a1a3x200x

  因为△1∽△11,所以

  

  所以 D22b10×a11=6x2-340x12000

  又因为 D2(2x)24x2

  所以 4x2=6x2-340x12000

  相消(相当于移项,合并同类项),得

  2x2-340x+120000

  x2-170x60000

  解方程,得

  x120

  所以 D2×120240

  《测圆海镜》的理论成果是巨大的.宋代以前,方程理论一直受几何思维束缚,如常数项只能为正,因为常数项通常是表示面积、体积等几何量的;方程次数不高于三次,因为超过三次的方程就难于找到几何解释了.宋代天元术的产生,标志着方程理论有了独立于几何的倾向,李冶对天元术的总结,则使方程理论基本上摆脱了几何思维的束缚,实现了程序化.李冶认识到代数计算可以不依赖于几何,方程的二次项不一定表示面积,三次项也不一定表示体积.他在《测圆海镜》中改变了传统的把实(常数项)看作正数的观念,常数项可正可负.书中用天元术列出许多高次方程,包括三次、四次和六次方程.李冶还处理了分式方程,他是通过方程两边同乘一个整式的方法,化分式方程为整式方程的.当方程各项含有公因子xn(n为正整数)时,李冶便令次数最低的项为实,其他各项均降低这一次数.

  在《测圆海镜》中,李冶采用了从零到九的完整数码,发明了负号和一套相当简明的小数记法.其负号是画在数字上的一条斜线,通常画在最后一位有效数字上,如-340写作.纯小数于个位处写○,带小数于个位数下写单位,如0.25记作5.76记作.这样,李冶的方程便可用符号表示,从而改变了用文字描述方程的旧面貌.但仍缺少运算符号,尤其是没有等号.这样的代数,可称为半符号代数.大约300年后,类似的半符号代数也在欧洲产生.“天元一”虽是文字形式,但它是代表各种未知数的一般的、抽象的文字,在本质上也可看作符号.另外,李冶在圆城图式中以一般性文字代表三角形顶点,与西方用字母表示几何点的作法类似.

  《测圆海镜》的成书标志着天元术成熟,不久以后,王恂、郭守敬(12311316)在编《授时历》时,便用天元术求周天弧度,沙克什则用天元术解决水利工程中的问题,都收到良好效果.元代数学家朱世杰曾说:“以天元演之,明源活法,省功数倍.”以《测圆海镜》为代表的天元术理论,对后世数学影响很大.李冶死后,天元术经二元术、三元术,迅速发展为四元术,成功地解决了四元高次方程组的建立和求解问题,达到宋元数学的顶峰.

 

三、《益古演段》

 

  《测圆海镜》成书后,由于内容深奥,粗知数学者看不懂.于是,李冶便在封龙山讲学的同时,着手写一部普及天元术的著作.他曾读过北宋蒋周《益古集》,书中问题多是已知平面图形的面积,求圆径、方边或周长,李冶用天元术对此书进行研究,写成《益古演段》三卷.全书六十四题,除四题为一次方程外,余皆为二次方程.该书用人们易懂的几何方法对天元术进行解释,图文并茂,深入浅出,是一本出色的天元术入门书.

  《益古演段》在理论上亦有创新,主要表现在化多元问题为一元问题,以及设辅助未知数的方法.书中问题与《测圆海镜》不同,所求量不是一个而是两个、三个甚至四个.按照古代方程理论“二物者再程,三物者三程,皆如物数程之”(刘徽语),应该用方程组来解,所含方程个数与所求量个数一致.但《益古演段》中却无一个方程组.李冶在推导方程的过程中,运用传统的出入相补原理和各种等量关系来减少未知数个数,最后只剩“天元一”.一旦这个“天元一”求出来,其他要求的量便可根据与天元一的关系求出了.《益古演段》中的辅助未知数见于第四十问.在得到方程

  -22.5x2648x230020

  后,李冶说:“合以平方开之,今不可开.”因为直接对上式开方,不能得到有限小数,而且由于二次项系数较大,开方运算较繁.于是,李冶采取了设辅助未知数的方法.以现代符号表示,即设y=22.5x,使上式变为

  -y2-648y5175450

  李冶称此法为连枝同体术,它为方程变形提供了一个有力工具

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